Per quello che so io, parlo per il pc, per poter scaricare la posta con un client l'account deve essere lo stesso del gestore della linea altrimenti puoi accedere alla posta solo tramite webmail, su uno smartphone non so come funzioni.
Es. se hai un account posta di libero devi avere il gestore internet wind infostrada, tin tin con, tiscali con tiscali etc...questo almeno per chi gestisce anche connessioni di rete, problema che non credo si presenti invece per account di posta di chi non gestisce anche servizi di fornitura adsl etc...almeno sul pc ho sempre notato questa cosa sia a lavoro dove abbiamo tim come operatore e possiamo scaricare mail su client solo dall'account di tim e a casa mi dove ho libero infostrada come gestore e posso scaricare su client solo la posta dell'account di libero.