Può darsi che sia settato automaticamente un "time-out", una scadenza automatica della connessione dati, magari un'impostazione di fabbrica che allo spegnimento dello schermo (o comunque dopo un tot tempo di inutilizzo del telefono) disconnetta automaticamente la connessione dati.
Quando succede, prova a NON riattivarla, apri un browser e carica una pagina web qualsiasi: se la visualizzi, la connessione è rimasta attiva (e probabilmente tornerai a vedere la notifica "h"). Se NON la visualizzi, la connessione si è interrotta.
Nel secondo caso bisognerebbe capire il motivo di tale comportamento, ma risolviamo una cosa per volta.
Riguardo all'operatore, io consiglio Noverca, un operatore virtuale: 200 min verso tutti i fissi e mobili nazionali, 200 sms verso tutti i nazionali, 1GB internet (purtroppo al superamento del GB non si riduce la velocità come fanno altri operatori, ma si naviga a pagamento -se si vuole, comunque si viene avvertiti via SMS-).