Errore comunicazione server di google dopo il ripristino

Un amico aveva un problema con il suo P6 e mi ha chiesto se potevo resettarlo.
Ho scoperto percò che c'è un software preinstallato sopra (teamwin) che mi fa pensare che sia stato modificato (lo ha preso usato).
Ma il problema non è tanto questo, ma il fatto che non riesco a connettere il telefono all'account Google (errore di connessione al server... riprova più tardi... ecc...)
Allora ho provato ad aggiornarlo da locale (file update nella cartella dload, ecc...) così come ho fatto con il mio P7 senza problemi.
Il telefono si è aggiornato ma il problema resta (e teamwin esiste ancora).

Ho già provato tutte le soluzioni trovate in rete (verifica in due passaggi, unlock app, ecc...) ma nulla da fare.
Il telefono accede regolarmente alla rete e dalla pagina Google del browser accedo al Play, alla Mail e tutti i servizi annessi.
E' solo la configurazione dell'account sul telefono che no va...


Come si risolve?

Io ho avuto varie volte lo stesso problema. A volte si risolveva "misteriosamente" da solo, altre non riuscivo nemmeno dopo giorni.
Ho tentato tutte le soluzioni in rete, senza alcun risultato finchè non mi è venuta l'idea di settare il device in inglese per leggere ESATTAMENTE l'errore in inglese e fare una ricerca.
Ovviamente, ho scoperto che i consigli sui forum italiani sono tutti sbagliati perchè in genere non vanno alla radice del problema.
Il problema vero è che google continua a cambiare i server di accesso, aggiornando sui device le nuove modalità. Nel momento in cui si fa un ripristino di un telefono non nuovissimo il problema si verifica.
Per risolverlo occorre installare la versione più recente possibile di Google Play service. Ovviamente, non avendo l'accesso al play store non si può fare così semplicemente, ma esiste un modo: dal sito Google Play services APKs - APKMirror si deve cercare la versione più adatta alla versione di android installata e scaricarla, e installarla dal telefono abilitando l'installazione delle app sconosciute.
Fatto questo il sistema funziona e l'account si ripristinerà.