Problema batteria esterna Puro con Sony Xperia T

Salve a tutti. Purtroppo ho questo problema di "compatibilità" fra questi due dispositivi, la batteria esterna Puro da 4000 mAh e lo smartphone Sony Xperia T. Premettendo che la batteria esterna ha solo dei led che indicano se il dispositivo è in carica o meno, appena comprata ho caricato la batteria esterna e collegata con lo smartphone scarico, e quest'ultimo non riconosce la batteria che dopo un po' si spegne. La carica avviene solo con lo smartphone spento. Inoltre la batteria esterna Puro funziona con altri smartphone e altre batterie esterne funzionano con lo smartphone Xperia. Cosa mi consigliate di fare? Quale potrebbe essere il problema? Grazie