Tu hai fatto il backup dell'app e non serve a nulla... I file APK sono i file di installazione delle app sotto Android.
Se apri un qualsiasi file manager, nella memoria interna (*) trovi la cartella Whatsapp, quella contiene tutte le chat e i file multimediali. La devi copiare in un posto sicuro e poi rimetterla nello stesso posto (memoria interna) del nuovo telefono PRIMA di avviare Whatsapp, in questo modo troverà il backup e ripristinerà tutto. Il backup che fai nel menù che hai visto fa una copia delle solo chat ma non dei file multimediali, se ripristini solo quelle vedrai le anteprime sfocate e quando le apri ti dirà che il file non esiste.
Dalle ultime versioni (2.12.338 che scarichi dal sito ufficiale di Whatsapp) c'è la possibilità di fare il backup su Google Drive e, suppongo, ripristinare ma sinceramente non ho mai provato!!!
* Ti ho parlato di memoria principale perché su Rainbow puoi impostare la memoria esterna (SD) come memoria principale quindi la cartella Whatsapp non sarà nella memoria interna del telefono ma sulla SD!!!! In questo caso non devi fare niente perché spostando la scheda nel telefono nuovo avrai già importato le chat. Salvo poi spostarle nella memoria principale del nuovo telefono...