Innanzitutto fai da tastiera *#1234# e prendi nota di quello che hai in questo momento, poi per precauzione fatti un nandroid backup tramite recovery, almeno se hai perdita di imei lo puoi ripristinare alla versione corrente e funzionante con il suo imei, dopo puoi procedere a fare il downgrade, se dopo aver fatto downgarde non hai imei, o che inizia con 00000 flasha il modem del firmware che hai adesso, ma solo il modem. Io sul mio s3 ho la 4.3.3 stock e funziona bene, meglio del 4.2.2, anche facendo downgrade e avendo perdita di imei riflasho il modem del firmware che avevo all'inizio ovvero la 4.1.2 e ritorna tutto a posto.
Scarica da qui https://www.androidiani.com/forum/mo...-s3-i9300.html questo Italia MG4 4.1.2 (CSC I9300ITVEMG2)
Devi essere registrato su sammobile per poter fare il download
La guida giusta è questa
https://www.androidiani.com/forum/mo...elly-bean.html
Però con tutte le prove che hai fatto tu, partirei da un deep clean 1 jelly bean edition post modem XXMG4.